Identitas perkalian dan penjumlahan atau selisih sinus dan cosinus

Pengertian Jumlah Dan Selisih Pada Sinus Cosinus

Jumlah merupakan suatu penjumlahan dari kedua sudut. Misalnya kita menentukan nilai suatu sudut dengan menggunakan rumus jumlah agar memudahkan kita dalam menentukan nilainya. Contohnya sin 75⁰ kita bisa mencarinya dengan cara sin (60⁰ + 15⁰). Penjumlahan ini biasanya kita simbolkan dengan sin (α + β).

Selisih merupakan suatu pengurangan dari kedua sudut. Misalnya kita ingin menentukan nilai sudut dengan menggunakan rumus selisih agar memudahkan kita menentukan nilai sudutnya. Contohnya kita ingin menentukan nilai cos 75⁰ maka kita bisa mencarinya dengan cara cos (60⁰ + 15⁰). Selisih tersebut biasanya disimbolkan dengan cos (α – β). Dalam hal ini 60⁰ merupakan salah satu sudut istimewa.

Rumus Jumlah dan Selisih pada Sinus dan Kosinus

D.   Rumus Jumlah dan Selisih pada Sinus dan Kosinus

a. Rumus Penjumlahan Cosinus

Berdasarkan rumus perkalian cosinus, diperoleh hubungan penjumlahan dalam cosinus yaitu sebagai berikut.

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) 

Misalkan

Selanjutnya, kedua persamaan itu disubstitusikan.

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

2 cos 1/2 (α + β) cos 1/2 (α – β) = cos α + cos β

atau

Perhatikan contoh soal berikut.

Contoh soal:

Sederhanakan: cos 100° + cos 20°.

Penyelesaian:

cos 100° + cos 20° = 2 cos 1/2(100 + 20)° cos 1/2(100 – 20)°

                              = 2 cos 60° cos 40°

                              = 2 ⋅ 1/2 cos 40°

                              = cos 40°

b. Rumus Pengurangan Cosinus

Dari rumus 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B), dengan memisalkan

A + B = α dan A – B = β, terdapat rumus:

Perhatikan contoh soal berikut.

Contoh soal:

Sederhanakan cos 35° – cos 25°.

Penyelesaian:

cos 35° – cos 25° = –2 sin 1/2 (35 + 25)° sin 1/2 (35 – 25)°

                            = –2 sin 30° sin 5°

                            = –2 ⋅ 1/2 sin 5°

                            = – sin 5°

c. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus

Dari rumus 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B), dengan memisalkan

A + B = α dan A – B = β, maka didapat rumus:

Agar lebih memahami tentang penjumlahan dan pengurangan sinus, pelajarilah

penggunaannya dalam contoh soal berikut.

Contoh soal:

Sederhanakan sin 315° – sin 15°.

Penyelesaian:

sin 315° – sin 15° = 2⋅ cos 1/2 (315 + 15)° ⋅ sin 1/2 (315 – 15)°

                            = 2⋅ cos 165° ⋅ sin 150°

                            = 2⋅ cos 165 ⋅ 1/2

                            = cos 165°

Perkalian Sinus dan Sinus

Rumus perkalian sinus dan sinus diperoleh dari kedua rumus berikut:

Bagian 2. Perkalian Cosinus dan Sinus.

Rumus perkalian cosinus dan sinus diperoleh dari kedua rumus berikut:

Bagian 3. Perkalian Sinus dan Cosinus.

Rumus perkalian sinus dan cosinus diperoleh dari kedua rumus berikut:

Bagian 4. Perkalian Cosinus dan Cosinus.

Rumus perkalian cosinus dan cosinus diperoleh dari kedua rumus berikut:

Contoh 

Soal: Tentukan bentuk sederhana dari 4 sin 36° cos 72° sin 108°

Jawab:

4 sin 36° cos 72°sin 108° = 2 sin 36° [2 sin 108° cos 72°] 

                                          = 2 sin 36° [sin(108 + 72)° + sin (108 – 72)°] 

                                          = 2 sin 36°[0 + sin 36°] 

                                          = 2

si

n

2

36°

                                          = 1 – cos 2(36°)

                                          = 1 – cos 72°

 Jumlah dan Selisih pada Sinus dan Kosinus

D.   Rumus Jumlah dan Selisih pada Sinus dan Kosinus
a. Rumus Penjumlahan Cosinus
Berdasarkan rumus perkalian cosinus, diperoleh hubungan penjumlahan dalam cosinus yaitu sebagai berikut.
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) 
Misalkan



Selanjutnya, kedua persamaan itu disubstitusikan.
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
2 cos 1/2 (α + β) cos 1/2 (α – β) = cos α + cos β
atau


Perh contoh soal berikut.
Contoh soal:
Sederhanakan: cos 100° + cos 20°.
Penyelesaian:
cos 100° + cos 20° = 2 cos 1/2(100 + 20)° cos 1/2(100 – 20)°
                              = 2 cos 60° cos 40°
                              = 2 ⋅ 1/2 cos 40°
                              = cos 40°

b. Rumus Pengurangan Cosinus
Dari rumus 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B), dengan memisalkan
A + B = α dan A – B = β, terdapat rumus:


Perhatikan contoh soal berikut.
Contoh soal:
Sederhanakan cos 35° – cos 25°.
Penyelesaian:
cos 35° – cos 25° = –2 sin 1/2 (35 + 25)° sin 1/2 (35 – 25)°
                            = –2 sin 30° sin 5°
                            = –2 ⋅ 1/2 sin 5°
                            = – sin 5°

c. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus
Dari rumus 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B), dengan memisalkan
A + B = α dan A – B = β, maka didapat rumus:


Agar lebih memahami tentang penjumlahan dan pengurangan sinus, pelajarilah
penggunaannya dalam contoh soal berikut.
Contoh soal:
Sederhanakan sin 315° – sin 15°.
Penyelesaian:
sin 315° – sin 15° = 2⋅ cos 1/2 (315 + 15)° ⋅ sin 1/2 (315 – 15)°
                            = 2⋅ cos 165° ⋅ sin 150°
                            = 2⋅ cos 165 ⋅ 1/2

                            = cos 165°Rumus Jumlah dan Selisih pada Sinus dan Kosinus

D.   Rumus Jumlah dan Selisih pada Sinus dan Kosinus
a. Rumus Penjumlahan Cosinus
Berdasarkan rumus perkalian cosinus, diperoleh hubungan penjumlahan dalam cosinus yaitu sebagai berikut.
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) 
Misalkan



Selanjutnya, kedua persamaan itu disubstitusikan.
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
2 cos 1/2 (α + β) cos 1/2 (α – β) = cos α + cos β
atau


Perhatikan contoh soal berikut.
Contoh soal:
Sederhanakan: cos 100° + cos 20°.
Penyelesaian:
cos 100° + cos 20° = 2 cos 1/2(100 + 20)° cos 1/2(100 – 20)°
                              = 2 cos 60° cos 40°
                              = 2 ⋅ 1/2 cos 40°
                              = cos 40°

b. Rumus Pengurangan Cosinus
Dari rumus 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B), dengan memisalkan
A + B = α dan A – B = β, terdapat rumus:


Perhatikan contoh soal berikut.
Contoh soal:
Sederhanakan cos 35° – cos 25°.
Penyelesaian:
cos 35° – cos 25° = –2 sin 1/2 (35 + 25)° sin 1/2 (35 – 25)°
                            = –2 sin 30° sin 5°
                            = –2 ⋅ 1/2 sin 5°
                            = – sin 5°

c. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus
Dari rumus 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B), dengan memisalkan
A + B = α dan A – B = β, maka didapat rumus:


Agar lebih memahami tentang penjumlahan dan pengurangan sinus, pelajarilah
penggunaannya dalam contoh soal berikut.
Contoh soal:
Sederhanakan sin 315° – sin 15°.
Penyelesaian:
sin 315° – sin 15° = 2⋅ cos 1/2 (315 + 15)° ⋅ sin 1/2 (315 – 15)°
                            = 2⋅ cos 165° ⋅ sin 150°
                            = 2⋅ cos 165 ⋅ 1/2
                            = cos 165°